淺談《力學中的數學方法》課程教學改革的思索和探討
論文關鍵詞:力學中的方法 教學改革 多媒體教學 實驗教學
論文摘要:針對目前《力學中的數學方法》課程的教學過程中存在的一些問題，從優化教學內容，教學方法以及教學手段方面提出了該課程教學改革的一些有利措施。
0引言
《力學中的數學方法》由《數學方程》與《數值分析》兩門基礎技術課程演化而來，涉及內容比較廣泛。該課程共包括兩部分內容，第一部分為《數學物理方程》中涉及到的三類偏微分方程的基本解析求解方法，即分離變量法、行波法、積分變換法和格林函數法;第二部分為《數值分析》課程中常用的幾類數值計算手段，包含線性方程組的求解，非線性方程求根，插值與逼近，數值積分、數值微分以及常微分方程的數值求解等。該課程基本容括了目前工程技術研究建模求解過程中所使用的各種數學手段，是力學類學生需要學習的基礎課程之一，也是理工科類本科生乃至研究生從事基礎技術研究選擇學習的重要課程之一。然而，倘若沒有深厚的數學基礎和對工程背景的相當了解，該門課程的學習相當困難。為了能讓學生初步掌握該課程中所涉及到的幾種力學中常用的數學方法，并能運用于實際應用中，筆者從教學內容、教學方法和教學手段等方面進行了教學改革的思索和探討。
1《力學中的數學方法》課程教學現狀及存在的問題
該課程的第一部分內容基本上由理論推導和抽象的數學分析構成，將近6年的實際教學過程中，學生反饋意見表明，該部分內容難度系數較高，概念太過抽象，非常不易掌握。第二部分內容雖然相對容易，但純粹的黑板板書講解無法促進學生對該部分內容的掌握和靈活運用。同時，由于更多的數學方法在力學研究過程中得到發展，許多新的理論與技術需要擴充到第二部分內容中來。而現代過程中，學生所需要掌握的基礎知識增多，許多過去花費大量學時所講的基本知識，現在只能用少量學時去講，因此，必須緊跟時代步伐改革教學內容，徹底拋棄“老的但長久被當作經典的”教學手段，比如黑板板書、手業方式等。應用以現代計算工具為平臺包括交互式圖形界面等新型的教學工具作為新式的教學手段。另外，目前的試卷考核方式，并不能真實地反映出學生對該課程的掌握程度，應進一步改善，鼓勵學生將該課程運用于解決實際問題。
2注意和工程技術的關聯，優化教學內容
前文已經講到，《力學中的數學方法》所涉及的內容比較廣泛，但并不是所有的內容都能在現代科研中得到運用，比如偏微分方程中的行波法，在現代力學問題中已經很少得以運用。相對而言，變分法卻得到廣泛的應用，需要補充到該課程中來。另外，積分變換法需要有《復變函數》知識的基礎，倘若學生并未學過該部分內容，也可略去不講。以往的教學經驗表明，倘若沒有《復變函數》的知識做鋪墊，在該課程中講授積分變換法效果欠佳。作為解析方法中最古老和最重要的一種方法，分離變量法以及格林函數法，由于在求解動力學方程以及波動方程中得到普遍應用，需要詳細講解。
對于數值計算方法這部分內容，非線性方程求根所涉及到的方法很多，有二分法、迭代法(包含簡單迭代和牛頓迭代)、牛頓下山法、弦割法等，由于課時有限，應以二分法和牛頓迭代法為主進行講解。而插值與逼近，以及數值積分乃是歷來的講解重點，因為這部分內容經常在力學問題處理中得以應用。另外，現有的力學問題中，出現微分方程的概率比較大，因此常微分方程的求解方法，必須得到重視。雖然說龍格庫塔法不失為一種精度較高求解速度較快的數值計算方法，但更新型的計算方法，如精細積分等也可在該課程中簡單介紹。
3多媒體教學以及MATLAB軟件的運用促進學生對該課程的理解
針對上節所提出的教學內容，再利用、PowerPoint (PPT) , Flash及MATLAB等工具制作CAI課件，適當淡化純數學推導證明過程，利用具有代表性的實例實時、動態地演示《力學中的數學方法》的課堂講授內容，這樣可以增加學生的學習興趣，提高其理解能力，學生即可以較好解一些抽象的理論原理，又能將理論與應用結合起來，從而提高課堂教學效率。由此，筆者提出傳統的黑板板書結合多媒體課件以及MATLAB軟件和“實際數學背景—概念—定理—數值計算實例—應用實例”的授課模式。
例如在講授分離變量法時，可結合駐波以及疊加原理這一物理背景展開，然后具體講授分離變量法的實施步驟，最后運用具體算例講解。如利用PPT講授分離變量法求解方程
雖然可通過PPT很好地將分離變量法的求解過程演示出來，但學生可能對該疊加解的理解很淺，但若運用繪圖軟件MATLAB將該解用下圖來表示。圖中z軸坐標分別表示疊加項中的第1至第5項以及最終的解。由圖明顯地看出，隨著疊加解中子項的增大，其子項在解中所占的分量越來越輕，疊加解收斂性由此可見。借助此圖，學生對該解的具體形式乃至疊加原理可有更深人的理解。
4實驗教學相結合
為了加深學生對該課程的深人理解和掌握運用，還可以利用學校便利的網絡資源將工程實例擴展為軟件實驗平臺，補充硬件實驗的不足，學生可以將MATLAB作為學習工具，以積極主動的學習者角色開展研究型學習，并在學習中不斷提高自己的創造能力，改變傳統的被動接受知識的教學模式。教師也可以通過網絡的平臺發揮主導作用，與學生互動。
為了將培養大學生的思維能力和數值計算能力落到實處，筆者根據該課程的具體內容設計了8個具體的數值試驗:即疊加解的圖形演示，算法的穩定性討論，非線性方程求根，多項式插值，線性方程組的求解，數值積分、常微分方程的求解，振動方程的求解。并將實踐教學的實踐結果納人到《力學中的數學方法》課程的考核中。具體做法為實驗報告占平時成績的40%。每次實驗報告要求包括以下內容:(1)求解問題的具體描述;(2)數值求解算法;(3) MATLAB程序;(4)數值計算結果;(5)數值算法分析。
實驗報告的具體考核標準為:(1)所建立的數學模型是否合理;(2)數值算法設計是否思路清晰，設計是否合理;(3) MATLAB程序是否編寫正確，代碼是否規范;(3)數值計算結果是否正確;(4)數值算法分析是否全面，分析是否準確。
通過教學實踐表明，上述所提到的教學改革的嘗試已經取得一定的效果。
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