計(jì)數(shù)查找算法的研究
摘 要 查找第K大的元素的問題在機(jī)查找計(jì)數(shù)中占有很重要的地位。若直接進(jìn)行排序，則算法平均時(shí)間復(fù)雜度為O(N*Lg(N))。但是比較好的策略有求第K大的元素的經(jīng)典算法——基于分治思想的Divide-Select [1][6]，算法的時(shí)間復(fù)雜度為O(6.09*N ) [5]。由于基于比較的排序算法在最壞的情況之下，都需要進(jìn)行N*Lg(N)次比較[3]，故本文提出了一種基于非比較算法的無符號(hào)整數(shù)查找算法——Count-Search（計(jì)數(shù)查找算法）。該算法應(yīng)用于無符號(hào)整數(shù)的查找，算法的平均時(shí)間復(fù)雜度為O( 2*N ) 。 關(guān)鍵字 非比較；查找；排序；時(shí)間復(fù)雜度；計(jì)數(shù)；整數(shù)1 算法的基本思想
通常的排序算法在空間和時(shí)間復(fù)雜度一定的情況下的時(shí)間開銷主要是關(guān)鍵字之間的比較和記錄的移動(dòng)。基于計(jì)數(shù)排序的查找算法（Count-Search）的實(shí)現(xiàn)在整個(gè)過程無需進(jìn)行數(shù)據(jù)的比較，算法的時(shí)間復(fù)雜度為O( 2*N )。該算法的基本原理是： 根據(jù)無符號(hào)整數(shù)的大小可以和數(shù)組元素的下標(biāo)對(duì)應(yīng)的原則，在程序中可以用整數(shù)數(shù)組來儲(chǔ)存元素的大小關(guān)系。對(duì)于一個(gè)大小為N的整型數(shù)組a[]，對(duì)于每一個(gè)元素x，用數(shù)組中的元素a[x]記錄下小于等于它的元素個(gè)數(shù)，當(dāng)要找的是集合中第K個(gè)大的元素時(shí)，則只需找到該數(shù)組中第N-K+1小的元素。即只需要找到該數(shù)組中第一個(gè)大于或等于 N-K+1的元素，該元素的下標(biāo)即為第K大的數(shù)。 該算法具體可以描述為：假設(shè)n個(gè)輸入元素的每一個(gè)都是介于0到M之間的整數(shù)，此處M為某個(gè)無符號(hào)整數(shù)。 (1) 對(duì)于每一個(gè)輸入的元素X，首先確定出等于X的元素個(gè)數(shù)。 (2) 對(duì)于每一個(gè)元素X，確定小于等于X的元素個(gè)數(shù)。 (3) 從數(shù)組首地址出發(fā)順序查找到第一個(gè)小于等于K的元素，則該元素X即為所要查找的第K小的數(shù)，順序查找到第一個(gè)小于等于N-K+1的元素，則該元素X即為所要查找的第K大的數(shù)。2 計(jì)數(shù)查找算法的C語言實(shí)現(xiàn)(Count—Search)
2.1 數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)與程序
假定輸入的數(shù)組為整型數(shù)組A[1..N]，length[A]=N，數(shù)組中元素最大值為M，數(shù)組C[]記錄整數(shù)元素的大小關(guān)系。 Count-Search(int* A，int K) memest(C，0)//C[0..M]==0初始化C[] for j=1 to length[A] do C[A[j]]=C[A[j]]+1 //C[i]包含等于i的元素個(gè)數(shù) for i=1 to M begin do C[i] = C[i]+C[i-1] //C[i]包含小于等于i的元素個(gè)數(shù) if( C[i]>= N-K+1 ) break；//尋找到第N-K+1的元素，即為第K大的元素 end2.2 算法步驟分析
第一步：第一行的初始化操作之后，在2-3行檢查每一個(gè)輸入元素。如果一個(gè)輸入元素的值為i，即C[i]的值加1 。于是在第3行之后，C[i]中存放了等于i的元素個(gè)數(shù)（整數(shù)i=0，1，…M）。 第二步：在第4-8之后，C[i]存放了小于等于i的元素的個(gè)數(shù)。最后從數(shù)組C的首地址出發(fā)順序查找第一個(gè)使得C[i]>=N-K+1的元素，則第K大的元素即為i 。 下圖給出了Count-Search的運(yùn)算過程：圖1表示初始數(shù)組A，C。圖2表示運(yùn)行完程序2-3行，數(shù)組C中的元素C[i]存放的是數(shù)組A中等于i的元素個(gè)數(shù)。圖3表示運(yùn)行4-8行的結(jié)果，C中元素C[i]存放的是數(shù)組A中小于等于i的元素個(gè)數(shù)。例如查找該數(shù)組第3大的數(shù)，則由于C[2]=4>=3，故元素2即為所要查找的第3大的數(shù)。 2.3 時(shí)間復(fù)雜度分析 程序2-3行時(shí)間復(fù)雜度為O(N)，第4-8行時(shí)間復(fù)雜度為O(M)，該算法的時(shí)間復(fù)雜度為T(n)= O( N+M)。如果數(shù)組A[]的最大值M與N成線形關(guān)系，即M=O(n)，則其時(shí)間復(fù)雜度為T(n) = O( 2N)。3 Count-Search算法與Divide-Select算法的比較
Divide-Select 的基本思想是：通過在線性的時(shí)間內(nèi)找到一個(gè)劃分基準(zhǔn)，使得按這個(gè)基準(zhǔn)所劃分出的兩個(gè)子數(shù)組的長(zhǎng)度都至少為原數(shù)組的ξ倍（0<ξ<1是某個(gè)正常數(shù)），然后對(duì)子數(shù)組遞歸的調(diào)用Divide-Select算法，這樣就可以在線性的時(shí)間內(nèi)完成查找任務(wù)。[6] 該算法得時(shí)間復(fù)雜度為O(6.09*N)[5]，與Count-Search算法相比較可知：Count-Search算法具有更好的時(shí)間復(fù)雜度。
4 算法測(cè)試與比較
為了證實(shí)上述結(jié)論，在ACER TravelMate 2420 (PM730，512M內(nèi)存，80G硬盤)，Windows XP 平臺(tái)上編寫了三種查找算法的子程序，進(jìn)行了相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)測(cè)定，其結(jié)果如表1 所示。（實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)全部采用均分布的無符號(hào)整型隨機(jī)數(shù)） 表1注：以上時(shí)間單位為毫秒MS。 根據(jù)以上數(shù)據(jù)我們可以繪制出數(shù)據(jù)規(guī)模和時(shí)間的函數(shù)圖像。 觀察分析以上實(shí)驗(yàn)結(jié)果，可以看出：基于快速排序的查找算法和其他算法相比較具有較差的效率；而采用了分治策略的Divide- Select查找算法的效率可以是基于快速排序的查找算法的幾十倍，其時(shí)間復(fù)雜度在圖中也反映為線性。而基于計(jì)數(shù)排序的查找算法（Count-Search）的時(shí)間復(fù)雜度同樣達(dá)到了線性，但是效率卻比Divide-Select更高，通過上述實(shí)驗(yàn)可以得知：在進(jìn)行無符號(hào)整數(shù)查找時(shí)，基于計(jì)數(shù)排序的查找算法（Count-Search）在時(shí)間上是最優(yōu)的。
5 Count-Search的應(yīng)用范圍
在查找無符號(hào)整數(shù)集合時(shí)，應(yīng)用Count-Search算法，能夠降低查找時(shí)間復(fù)雜度。但是應(yīng)用Count-Search算法時(shí)要注意：該算法只適用于整數(shù)的查找，且查找集合S的最大值M與S中元素個(gè)數(shù)N不成指數(shù)關(guān)系，即M不能遠(yuǎn)大于N。因?yàn)楫?dāng)M過大時(shí)，首先內(nèi)存開銷就會(huì)很大，其次時(shí)間復(fù)雜度也會(huì)相應(yīng)的提高。 該算法充分的運(yùn)用了整數(shù)的特性，整個(gè)運(yùn)算過程中無需數(shù)據(jù)的比較和交換，大大降低了算法的時(shí)間復(fù)雜度，因此該算法可以在工程統(tǒng)計(jì)中得到大規(guī)模運(yùn)用。例如：隨著的和應(yīng)用，網(wǎng)絡(luò)中的信息量成倍的擴(kuò)大，而在其中我們關(guān)注的最多的則是統(tǒng)計(jì)排名比較靠前的信息，如果將全部過億的統(tǒng)計(jì)量排序，則由于數(shù)據(jù)量過大，則會(huì)浪費(fèi)大量的時(shí)間和資源。而采用Count-Search的查找算法，就可在線性的時(shí)間完成。6 結(jié)束語
本文中提出的一種基于計(jì)數(shù)排序算法的整數(shù)查找算法，該算法在運(yùn)算過程中無需進(jìn)行數(shù)據(jù)的比較和交換，該算法可以應(yīng)用到大規(guī)模的整數(shù)查找，算法的時(shí)間復(fù)雜度很低，而且避免的大量的數(shù)據(jù)比較和交換，同時(shí)在時(shí)間上是最優(yōu)的。 [1]崔澤鵬，李偉生. EREW PRAM模型上指數(shù)級(jí)分割待處理數(shù)據(jù)集的并行多選算法[J].北方大學(xué)學(xué)報(bào)，2003，(2)：46-49 [2]班志杰，高光來. 一種Byte查找第K個(gè)元素的算法研究[J]. 內(nèi)蒙古大學(xué)學(xué)報(bào)，2004，(3)：322-324 [3]Thomas H.Cormen Charles E.Leiserson. 《算法導(dǎo)論》[M]. 北京：機(jī)械出版社。2006.9：98-99 [4]Muhammad H.Alsuwaiyel. An optimal parallel algorithm for the multiselection problem[J]. Parallel Computing，2001，(27)：861—865 [5]江華. 求第K個(gè)元素的快速排序算法[J]. 韶關(guān)學(xué)院報(bào)，2003，(6)：32-34 [6]王曉東.《算法設(shè)計(jì)與分析》[M] .北京：清華大學(xué)出版社，2003.1：39-43【計(jì)數(shù)查找算法的研究】相關(guān)文章：
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